contoh soal dan pembahasan materi SPLTV

1. Assalamu'alaikum Wr. Wb
   Dalam kesempatan kali ini saya akan berbagi soal dan pembahasan tentang materi Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV). Langsung saja ini adalah beberapa contoh soal Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV):

1.. 1.  Ani, nia, dan ina pergi bersama – sama ke toko buah. Ani membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Ina membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp 80.000,00. Harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk seluruhnya adalah ....

a.       Rp 37.000,00

b.      Rp 44.000,00

c.       Rp 51.000,00

d.      Rp 55.000,00

e.       Rp 58.000,00

Penyelesaian:

Misalkan:         apel = x       

                        Anggur = y

                        Jeruk = z

Dari soal diatas, dapat disusun sistem persamaan linier sebagai berikut.

(i)                 2x + 2y + z = 67.000

(ii)               3x + y + z = 61.000

(iii)             x + 3y + 2z = 80.000

Eliminasi variabel z persamaan (i) dan (ii):

2x + 2y + z = 67.000

3x + y + z = 61.000     -

-x + y   = 6.000            persamaan (iv)

Eliminasi variabel z persamaan (ii) dan (iii):

3x + y + z = 61.000     |x2|       6x + 2y + 2z = 122.000

x + y + 2z = 80.000     |x1|       x + 3y + 2z = 80.000   -

                                                5x – y = 42.000          persamaan (v)

Eliminasi variabel y persamaan (iv) dan (v):

-x + y = 6.000

5x – y = 42.000               +

4x = 48.000

x = 12.000

eliminasi variabel x persamaan (iv) dan (v):

-x + y = 6.000              |x5|       -5x + 5y = 30.000

5x – y = 42.000            |x1|       5x – y = 42.000                       +

                                                4y = 72.000

                                                y = 18.000

Eliminasi variabel x persamaan (i) dan (iii):

2x + 2y + z = 67.000   |x1|       2x + 2y + z = 67.000

x + y + 2z = 80.000     |x2|       2x + 6y + 4z = 160.000           -

                                                         -4y – 3z = 93.000        persamaan (vi)

Eliminasi variabel x persamaan (ii) dan (iii):

3x + y + z = 61.000     |x1|       3x + y + z = 61.000

x + y + 2z = 80.000     |x3|       3x + 9y + 6z = 240.000           -

                                                         -8y – 5z = 179.000      persamaan (vii)

Eliminasi variabel y persamaan (vi) dan (vii):

-4y – 3z = 93.000        |x2|       -8y – 6z = 186.000

-8y – 5z = 179.000      |x1|       -8y – 5z = 179.000      -

                                                            z = 7.000

jadi, harga untuk 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk adalah x + y + 4z = 12.000 + 18.000 + 4(7.000) = Rp 58.000,00

2.2.  Himpunan penyelesaian dari sisitem persamaan

x + y – z = 1

8x + 3y – 6z = 1

-4x – y + 3z = 1

adalah ...

a.       (-1, -2, 0)

b.      (0, 1, 0)

c.       (1, 1, 0)

d.      (1, 1, -1)

e.       (2, 4, 3)

Penyelesaian:

x + y – z = 1                (i)

8x + 3y – 6z = 1          (ii)

-4x – y + 3z = 1           (iii)

Eliminasi variabel y persamaan (i) dan (iii):

x + y + z = 1

-4x – y + 3z = 1                       +

-3x + 2z = 2                 persamaan (iv)

Eliminasi variabel y persamaan (i) dan (ii):

x + y – z = 1                |x3|       3x + 3y - 3z = 3

8x + 3y – 6z = 1          |x1|       8x + 3y – 6z = 1          -

                                                        -5x + 3z = 2                 persamaan (v)

Eliminasi variabel z persamaan (iv) dan (v):

-3x + 2z = 2                 |x3|       -9x + 6z = 6

-5x + 3z = 2                 |x2|       -10x + 6z = 4   -

                                                               x = 2

Eliminasi variabel x persamaan (iv) dan (v):

-3x + 2z = 2                 |x5|       -15x + 10z = 10

-5x + 3z = 2                 |x3|       -15x + 9z = 6   -

                                                               z = 4

eliminasi variabel x persamaan (i) dan (ii):

8x + 3y – 6z = 1          |x1|       8x + 3y – 6z = 1

-4x – y + 3z = 1          |x2|       -8x -2y + 6z = 2               +

                                                                   y = 3

jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (2, 4, 3)

3.3.  Ahamad membeli di sebuah toko peralatan sekolah berupa 4 penggaris, 6 buah buku tulis, dan 2 buah pena dengan menghabiskan biaya sebesar Rp 19.000,00. Di Toko yang sama Sulaiman berbelanja 3 buah buku tulis dan sebuah penggaris dengan menghabiskan uang Rp 7.000,00. Jika harga sebuah penggaris adalah Rp 1.000,00 maka harga sebuah pena adalah ....

a.       Rp 1.000,00

b.      Rp 1.500,00

c.       Rp 2.000,00

d.      Rp 3.000,00

e.       Rp 3.500,00

Penyelesaiaan:

Misalkan:         x = harga sebuah penggaris

                                    y = harga sebuah buku tulis

                                    z = harga sebuah pena

            diketahui:         4x + 6y + 2z = 19.000 (i)

                                    3y + x = 7.000                         (ii)

                                    x = 1.000                     (iii)

            ditanya:            z = ... ?

            dijawab:

            substitusikan persamaan (iii) ke persamaan (ii):

            3y + x = 7.000

            3y + 1.000 = 7.000

            3y = 6.000

            y = 2.000         persamaan (iv)

            substitusikan persamaan (iii) dan (iv) ke persamaan (i):

            4x + 6y + 2z = 19.000

            4(1.000) + 6(2.000) + 2z = 19.000

            4.000 + 12.000 + 2z = 19.000

            16.000 + 2z = 19.000

            2z = 3.000

            z = 1.500

            jadi, harga sebuah pena adalah Rp 1.500,00.

4.   4. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

x + y + z = 45

x + 4 = y

z – 17 = x

adalah ....

a.       (10, 8, 25)

b.      (10,12, 30)

c.       (8, 12, 25)

d.      (8, 10, 20)

e.       (6, 8, 25)

Penyelesaiaan:

x + y + z = 45              (i)

x + 4 = y                      (ii)

z – 17 = x                    (iii)

Eliminasi variabel y persamaan (i) dan (ii):

x + y + z = 45

x – y = -4         +

2x + z = 41                  (iv)

Eliminasi variabel z persamaan (iii) dan (iv):

x – z = -17

2x + z = 41      +

3x = 24

x = 8                            (v)

Substitusikan persamaan (v) ke (ii):

8 + 4 = y => y = 12

Substitusikan persamaan (v) ke (iii):

z – 17 = 8 => z = 25

jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah (8, 12, 25)

5.  5. Arni, Febri, dan Dewi bersama – sama pergi koperasi sekolah. Arni membeli 4 buku, 2 pulpen, dan 3 pensil dengan harga Rp 26.000,00. Febri membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan harga Rp 21.000,00. Sedangkan Dewi membeli 3 buku, dan 1 pensil dengan harga Rp 12.000,00. Jika Masrur membeli 2 pulpen dan 3 pensil, maka jumlah uang yang harus dibayarkan oleh masrur adalah ....

a.    Rp 13.200,00

b.    Rp 13.700,00

c.    Rp 14.500,00

d.    Rp 15.300,00

e.    Rp 16.000,00

Penyelesaian:

Misalkan:         x = buku

                         y = pulpen

                         z = pensil

Ditanya: 2y + 3z ?

Dari soal diatas, dapat disusun sistem persamaan linier sebagai berikut.

4x + 2y + 3z = 26.000              (i)

3x + 3y + z = 21.000                (ii)

3x + z = 12.000                        (iii)

Eliminasi variabel y persamaan (i) dan (ii):

4x + 2y + 3z = 26.000              |x3|       12x + 6y + 9z = 78.000

3x + 3y + z = 21.000                |x2|       6x + 6y + 2z = 42.000             -

                                                                        6x + 7z = 36.000         (iv)

Eliminasi variabel x persamaan (iv) dan (iii):

6x + 7z = 36.000          |x1|       6x + 7y = 36.000

3x + z = 12.000            |x2|       6x + 2z = 24.000         -

                                                            5z = 12.000

                                                            z = 2.400

Eliminasikan persamaan (ii) dan (iii):

3x + 3y + z = 21.000

3x + z = 12.000                        -

3y = 9.000

y = 3.000

Subtitusikan nila z = 2.400 ke persamaan (iii):

3x + z = 12.000

3x + 2.400 = 12.000

3x = 9.600

x = 3.200

Jadi, harga untuk 2 pulpen dan 3 pensil adalah 2y + 3z = 2(3.000) + 3(2.400) = Rp 13.000,00

6. 6.  Diketahui sistem persamaan linier tiga variabel sebagai berikut.

2x – 3y + z = 8

x + 2y – z = -1

x + 3y + 2z = 1

Nilai dari x + y + z adalah ....

a.       -2

b.      0

c.       2

d.      4

e.       8
Penyelesaiaan:

            2x – 3y + z = 8             (i)

            x + 2y – z = -1             (ii)

            x + 3y + 2z = 1            (iii)

Eliminasi variabel z persamaan (i) dan (ii):

2x – 3y + z = 8

x + 2y – z = -1             +

3x – y = 7                    (iv)

Eliminasi variabel z persamaan (i) dan (iii):

2x – 3y + z = 8             |x2|       4x – 6y + 2z = 16

X + 3y + 2z = 1            |x1|       x + 3y + 2z = 1                        -

                                                        3x – 9y = 15                (v)

Eliminasi variabel x persamaan (iv) dan (v):

3x – 9y = 15

3x – y = 7        -

-8y = 8

y = -1

Substitusikan nilai y = -1 ke persamaan (v):

3x – 9(-1) = 15

3x + 9 = 15

3x = 6 => x = 2

Substitusikan nilai x = 2 dan y = -1 ke persamaan (i):

2x – 3y + z =8

2(2) – 3(-1) + z = 8

7 + z = 8 => z = 1

Jadi, nilai dari x + y + z adalah 2 + (-1) + 1 = 2

7. 7. Harga 2 kg pisang, 2 kg mangga, 1kg manggis adalah Rp 70.000,00. Harga 1 kg pisang, 2 kg mangga, 2 kg manggis adalah Rp 90.000,00. jika harga 2 kg pisang, 2 kg mangga, 3 kg manggis Rp 130.000,00. Maka harga 1 kg mangga adalah ....

a.    Rp 5.000,00

b.    Rp 7.500,00

c.    Rp 10.000,00

d.    Rp 12.000,00

e.    Rp 15.000,00

Penyelesaiaan:

Misalkan:         x = pisang

                         y = mangga

                         z = manggis

maka dapat diperolah persamaan sebagai berikut:

2x + 2y + z = 70.000                (i)

x + 2y + 2z = 90.000                (ii)

2x + 2y + 3z = 130.000            (iii)

Eliminasi variabel z persamaan (i) dan (ii):

2x + 2y + z = 70.000    |x2|       4x + 4y + 2z = 140.000

x + 2y + 2z = 90.000    |x1|       x + 2y + 2z = 90.000               -

                                                        3x + 2y = 50.000                     (iv)

Eliminasi variabel z persamaan (i) dan (iii):

2x + 2y + z = 70.000                |x3|       6x + 6y + 3z = 210.000

2x + 2y + 3z = 130.000            |x1|       2x + 2y + 3z = 130.000                       -

                                                                        4x + 4y = 80.000         (v)

Eliminasi variabel y persamaan (iv) dan (v):

3x + 2y = 50.000         |x2|       6x + 4y = 100.000

4x + 4y = 80.000         |x1|       4x + 4y = 80.000         -

                                                            2x = 20.000

                                                            x = 10.000

Eliminasi variabel x dan y persamaan (iii) dan (i):

2x + 2y + 3z = 130.000

2x + 2y + z = 70.000    -

2z = 60.000

z = 30.000

Substitusikan nilai x = 10.000 dan z = 30.000 ke persamaan (i):

2x + 2y + z = 70.000

2(10.000) + 2y + 30.000 = 70.000

20.000 + 30.000 + 2y = 70.000

2y = 70.000 – 50.000

y = 10.000

Jadi, harga 1 kg mangga adalah y = Rp 10.000,00